Question

已知：如圖，拋物線y=x²-（m+2）x+3（m-1）與x軸的兩個交點M、N在原點的兩側(cè)，點N在點M的右邊，直線y₁=-2x+m+6經(jīng)過點N，交y軸于點F．
（1）求這條拋物線和直線的解析式．
（2）又直線y₂=kx（k＞0）與拋物線交于兩個不同的點A、B，與直線y₁交于點P，分別過點A、B、P作x軸的垂線，垂足分別是C、D、H．
①試用含有k的代數(shù)式表示

1

OC

-

1

OD

；
②求證：

1

OC

-

1

OD

=

2

OH

．
（3）在（2）的條件下，延長線段BD交直線y₁于點E，當(dāng)直線y₂繞點O旋轉(zhuǎn)時，問是否存在滿足條件的k值，使△PBE為等腰三角形？若存在，求出直線y₂的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)直線y₁的解析式求出N點的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中即可求出m的值，然后根據(jù)M、N在原點兩側(cè)，即3（m-1）＜0，將不合題意的m的值舍去，即可求出拋物線和直線的解析式；
（2）本題可聯(lián)立個相交函數(shù)的解析式，求出C，D，H三點的橫坐標(biāo)，然后用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)PB=BE時，則有∠OFD=∠OF，由于∠OFD為銳角且小于45°，因此∠FOB為鈍角，此時直線y₂的斜率k＜0，顯然不合題意．
②當(dāng)PB=PE時，那么PF=PO，P點位于OF的垂直平分線上，因此P點的縱坐標(biāo)為3，由此可求出P點的坐標(biāo)．以此來求出直線y₂的解析式．
③當(dāng)PE=BE時，那么PF=OF=6，可過P作PG⊥y軸于G，通過構(gòu)建相似三角形來求出P點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直線y₁的解析式求出P點的坐標(biāo)，以此來求出直線y₂的解析式．
綜上所述，可求得符合條件的直線y₂的解析式．

解答：解：（1）由題意可知：N點的坐標(biāo)為（

m+6

2

，0）．
已知拋物線過N點，則有：

(m+6)2

4

-

(m+6)(m+2)

2

+3（m-1）+0
即m²-8m=0，解得m=0，m=8．
∵M(jìn)，N在原點兩側(cè)，因此3（m-1）＜0，m＜1；
因此m=8不合題意舍去
∴m=0．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，直線的解析式為y₁=-2x+6．

（2）已知拋物線與直線y₂交于A、B兩點，
因此kx=x²-2x+3，
即x²-（2+k）x-3=0
設(shè)C、D的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0）．
∴x₁+x₂=2+k，x₁•x₂=-3
∴

1

OC

-

1

OD

=

OD-OC

OC•OD

=

x1+x2

-x1x2

=

2+k

3

．
已知直線y₂與y₁交于P點，
則：-2x+6=kx，x=

6

k+2

∴H點的坐標(biāo)為（

6

k+2

，0）
因此

2

OH

=

2+k

3

，
∴

1

OC

-

1

OD

=

2

OH

．

（3）本題要分三種情況：
①PB=BE，則有∠OFD=∠OPF，
∵∠OFD＜45°，
∴∠FOB為鈍角，此時y₂的斜率k＜0，
因此不合題意，不存在這種情況．
②PB=PE，則有PF=PO，設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），
∴y=

1

2

OF=3．
已知直線y₁過P點，
因此P點的坐標(biāo)為（

3

2

，3）．
∴3=

3

2

k，k=2．
因此直線y₂的解析式為y₂=2x．
③PE=BE，則有PF=OF=6．過P作PG⊥y軸于G，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）．
在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，
根據(jù)勾股定理可得：EF=3

5

．
∵PG∥x軸
∴

PF

NF

=

PG

ON

，
即

6

3 5

=

x

3

．
∴x=

6 5

5

，
由于直線y₁=-2x+6過P點，
因此P點的坐標(biāo)為（

6 5

5

，

30-12 5

5

）．
∴

30-12 5

5

=k•

6 5

5

，k=

5

-2．
∴y₂=（

5

-2）x．
綜上所述y₂的解析式為y₂=2x或y₂=（

5

-2）x．

點評：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識點，綜合性強(qiáng)，主要考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．