Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

（2）由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：將、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，

解得：；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：；

存在點(diǎn)，使四邊形為菱形；

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，交于

若四邊形是菱形，則有；

連接，則于，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴；

∴

解得，（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，

設(shè)直線的解析式為：，

則，

解得：

∴直線的解析式為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)，

解得：，，

∴，，

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為．