Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG、BG、BD、DG，下列結論：① BC=DF，②∠DGF=135o；③BG⊥DG，④ 若3AD=4AB，則4S△BDG=25S△DGF；正確的是____________（只填番號）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得：BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由角平分線可得△ADF是等腰直角三角形，則BC=DF=AD，故①正確；

先求出∠BAE=45°，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=BE，∠AEB=45°，從而得到BE=CD；再求出△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“邊角邊”證明△BEG≌△DCG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②錯誤；

由全等三角形的性質(zhì)可得∠BGE=∠DGC，即可得到③正確；

由△BGD是等腰直角三角形得到BD=5a，求得S△BDG，過G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，進而得出答案．

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°．

∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴BC=DF，故選項①正確；

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∠AEB=45°．

∵AB=CD，∴BE=CD；

∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形．

∵點G為EF的中點，∴CG=EG，∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°．

在△BEG和△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴∠BGE=∠DGC．

∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC=∠BGE＜45°．

∵∠CGF=90°，∴∠DGF＜135°，故②錯誤；

∵△BEG≌△DCG，∴∠BGE=∠DGC，BG=DG．

∵∠EGC=90°，∴∠BGD=90°，∴BG⊥DG，故③正確；

∵3AD=4AB，∴，∴設AB=3a，則AD=4a．

∵BD=5a，∴BG=DGa，∴S△BDGa2．

過G作GM⊥CF于M．

∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=a，∴GMCFa，∴S△DGFDFGM4aa=a2，∴S△BDGS△DGF，∴4S△BDG=25S△DGF，故④正確．

故答案為：①③④．