Question

如圖，半徑為2的圓內(nèi)接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圓的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，則該梯形周長的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓心為O，則OA=OB=OC=OD=2，設(shè)腰長為x，設(shè)上底長是2b，利用勾股定理得出，則x²-（2-b）²=R²-b²=CP²，再利用二次函數(shù)最值求出即可．

解答：解：圓心為O，連接OD，OC，過O作OE⊥CD，過C作CP⊥OB，
∴E為DC的中點(diǎn)，DE=CE=

1

2

CD=b，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四邊形EOPC為矩形，
∴EC=OP，

則OA=OB=OC=OD=2，設(shè)腰長為x，
設(shè)上底長是2b，過C作直徑的垂線，垂足是P，
則CP²=OC²-OP²=CB²-PB²，
即x²-（2-b）²=2²-b²，
整理得b=2-

x2

4

，
所以y=4+2x+2b=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8，
∴該梯形周長的最大值是：

4ac-b 2

4a

=

-16-4

-2

=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及等腰梯形的性質(zhì)和解直角三角形，根據(jù)題意得出x²-（2-b）²=R²-b²=CP² 從而利用二次函數(shù)最值求法求出是解決問題的關(guān)鍵．