Question

這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八�！�按這個方法放滿整個棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個格子，則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）
（2）請?zhí)骄康冢?）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少？（簡要寫出探究過程）
（3）求國王輸給阿基米德的米粒數(shù)．

Answer 1

分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第n個格子里的米粒數(shù)是2為底數(shù)，n-1作為指數(shù)；
（2）通過計算可以看出，個位數(shù)是以4項為一組循環(huán)的，用63除以4，余數(shù)是幾就與第幾項的個位數(shù)相同．
（3）利用信息，這列數(shù)都乘以2，再相減即可求出．

解答：解：（1）第64個格子，應(yīng)該底數(shù)是2，指數(shù)63，所以為2⁶³；

（2）∵2⁰=1，2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位數(shù)字與2³的末位數(shù)字相同，是8．

（3）設(shè)x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．等式兩邊同時乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②，②-①，得x=2⁶⁴-1．答：國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為2⁶⁴-1．

點評：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化．解答本題的關(guān)鍵是從題意中找出規(guī)律：每一格均是前一格的雙倍，即a_n=2^n-1．