Question

【題目】如圖，頂點為C的拋物線y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，連接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）過點C作CE⊥OB，垂足為E，點P為y軸上的動點，若以O、C、P為頂點的三角形與△AOE相似，求點P的坐標；

（3）若將（2）的線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜120°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣x；（2）點P坐標為（0，）或（0，）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點坐標，以及B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出當OP=OC或OP′=2OC時，△POC與△AOE相似；

（3）如圖，取Q（，0）．連接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長.

（1）過點A作AH⊥x軸于點H，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOH=60°，

∴OH=1，AH=，

∴A點坐標為：（-1，），B點坐標為：（2，0），

將兩點代入y=ax2+bx得：

，

解得：，

∴拋物線的表達式為：y=x2-x；

（2）如圖，

∵C（1，-），

∴tan∠EOC=，

∴∠EOC=30°，

∴∠POC=90°+30°=120°，

∵∠AOE=120°，

∴∠AOE=∠POC=120°，

∵OA=2OE，OC=，

∴當OP=OC或OP′=2OC時，△POC與△AOE相似，

∴OP=，OP′=，

∴點P坐標為（0，）或（0，）．

（3）如圖，取Q（，0）．連接AQ，QE′．

∵

，∠QOE′=∠BOE′，

∴△OE′Q∽△OBE′，

∴，

∴E′Q=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+QE′，

∵AE′+E′Q≥AQ，

∴E′A+E′B的最小值就是線段AQ的長，最小值為．