Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣，0），點(diǎn)B（0，1）把△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A'B'O，點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A'，B'，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′，B，B′共線時(shí)，求AA′的長．

（2）如圖②，當(dāng)α＝90°，求直線AB與A′B′的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)A′在直線AB上時(shí)，求BB′與OA′的交點(diǎn)D的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）AA′=；（2）（，）；（3）（，）.

【解析】

（1）如圖①，只要證明△AOA′是等邊三角形即可；

（2）如圖②，當(dāng)α=90°，點(diǎn)A′在y軸上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH即可解決問題；

（3）如圖③，設(shè)A′B′交x軸于點(diǎn)K．首先證明A′B′⊥x軸，求出OK，A′K即可解決問題；

（1）如圖①，

∵A（﹣，0），B（0，1），

∴OA＝，OB＝1，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，

∵△A′OB′是由△AOB旋轉(zhuǎn)得到，

∴∠B′＝∠ABO＝60°，OB＝OB′，OA＝OA′，

∴∠OBB′＝60°，

∴∠BOB′＝α＝∠AOA′＝60°，

∴△AOA′是等邊三角形，

∴AA′＝OA＝．

（2）如圖②，當(dāng)α＝90°，點(diǎn)A′在y軸上，作CH⊥OA′于H．

∵∠A′B′O＝60°，∠CAB′＝30°，

∴∠ACB′＝90°，

∵A′B＝OA′﹣OB＝﹣1，∠BA′C＝30°，

∴BC＝A′B＝，

∵∠HBC＝60°，

∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，

∴OH＝1+BH＝，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（，）．

（3）如圖③中，設(shè)A′B′交x軸于點(diǎn)K．

當(dāng)A′在AB上時(shí)，∵OA＝OA′，

∴∠OAA′＝∠AA′O＝30°，

∵∠OA′B′＝30°，

∴∠AA′K＝60°，

∴∠AKA′＝90°，

∵OA′＝，∠OA′K＝30°，

∴OK＝OA′＝，A′K＝OK＝，

∴A′（，）．