Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=7cm，AB=cm。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)

（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，PQ交AB于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向右側(cè)作矩形PQRS，若點(diǎn)R恰好在邊AC上，且滿(mǎn)足QR=2PQ.求BP得值.

（2）以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑作圓.

①如圖3，當(dāng)⊙P與邊AC相切于點(diǎn)E時(shí)，求BP的值;

②隨著BP的變化，⊙P與△ABC三邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的BP的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC均有2個(gè)公共點(diǎn)，與AC無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC均有2個(gè)公共點(diǎn)，與AC有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，⊙P與AB、BC和AC均有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和AC有1個(gè)公共點(diǎn)，與BC有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC有1個(gè)公共點(diǎn)，與AC無(wú)個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC，由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=cm，即可得出AD的長(zhǎng)，設(shè)BP=PQ=x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)列比例式求解；①過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC，連接PE，根據(jù)勾股定理求AC，根據(jù)AA定理判定△ADC∽△PEC，然后列比例式求解；

解：（1）過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC，交QR于點(diǎn)E

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，

∴AD=BD=

在矩形PQRS中RQ∥BC

∴△AQR∽△ABC

∴

設(shè)BP=PQ=x，則QR=2x，AE=3-x

∴

解得：x=

∴BP=

（2）①過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC，連接PE

由（1）可知，BD=AD=3

∴CD=BC-BD=7-3=4

∴在Rt△ADC中，

∵⊙P與邊AC相切于點(diǎn)E

∴∠ADC=∠PEC=90°

又∵∠C=∠C

∴△ADC∽△PEC

∴

設(shè)BP=PE=x

∴

解得：x=

∴BP=

（3）由AB=，BC=7，(2)中BP=可知

當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC均有2個(gè)公共點(diǎn)，與AC無(wú)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC均有2個(gè)公共點(diǎn)，與AC有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，⊙P與AB、BC和AC均有2個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和AC有1個(gè)公共點(diǎn)，與BC有2個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，⊙P與AB和BC有1個(gè)公共點(diǎn)，與AC無(wú)個(gè)公共點(diǎn)．