Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為點P，過B點的直線與線段AD的延長線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）如圖1，求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）如圖2，當(dāng)點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延長線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形是平行四邊形，證明詳見解析.

【解析】

（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明∠ABF=90°．

（2）結(jié)論四邊形AEBF是平行四邊形，只要證明AE∥BF，AF∥BE即可．

（1）如圖1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB．

∵CD⊥AB，∴∠CPB=90°，∴∠ABF=90°，∴直線BF是⊙O的切線．

（2）結(jié)論：四邊形AEBF是平行四邊形．證明如下：

如圖2中，連接AC、BD．

∵OA=OB，∴OC=OD，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AF∥BE．

又∵AE切⊙O于點A，∴AE⊥AB，同理BF⊥AB，∴AE∥BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．