Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．
（1）求證：點E是

BD

的中點；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）連OD，由AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，而∠OAD=∠ADO，則∠DOC=∠BOC，即可得到結(jié)論；
（2）連DB，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ADB=90°，再利用三角函數(shù)可計算出BD=8，根據(jù)勾股定理可計算出AD=6，由于DF⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到DG=FG，利用面積公式可計算出DG的長，從而得到DF的長．

解答：（1）證明：連OD．
∵AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DOC=∠BOC，
∴弧DE=弧BE，即點E是

BD

的中點；

（2）解：連DB，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=

DB

AB

，
∴

DB

10

=

4

5

，
∴DB=8，
∴AD=

AB2-BD2

=6，
∵DF⊥AB，
∴DG=FG，S_△ABD=

1

2

DG•AB=

1

2

AD•BD，即DG=

6×8

10

=

24

5

，
∴DF=2DG=

48

5

．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了平行線的性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形．