Question

已知：△ABC中，∠BCA=2∠BAC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)α角得到△ANM．
（1）如圖，當(dāng)AB⊥MC且AB=MC時(shí)，求∠BCA的度數(shù)；
（2）若∠BAC=20°，求旋轉(zhuǎn)角α為何值時(shí)，可使四邊形ACMN為梯形．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形NMCA為等腰梯形，設(shè)∠BAC=x，則∠NAC=3x=∠MCA，得出8x=180°，進(jìn)而得出∠BCA=2x=45°；
（2）分別根據(jù)①當(dāng)MN∥AC時(shí)，②當(dāng)AN∥CM時(shí)，分別求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)即可．

解答：解：（1）由題意得出：△ABC≌△ANM，
∴AM=AC，∠NMA=∠ACB，
又∵AB⊥MC，
∴∠MAB=∠CAB，
∴∠MAC=2∠BAC，
∴∠NMA=∠MAC，
∴MN∥AC，
又∵AN=AB=MC，
∴四邊形NMCA為等腰梯形，
∴∠MCA=∠NAC，設(shè)∠BAC=x，
則∠NAC=3x=∠MCA，
又∵AM=AC，
∴∠AMC=∠ACM=3x，
∵∠AMN=2x，∴8x=180°，
∴x=22.5°，
∴∠BCA=2x=45°；

（2）①當(dāng)MN∥AC時(shí)，∠MAC=∠AMN=2∠BAC，
又∵∠BAC=20°，
∴∠MAC=40°，即α=40°，
②如圖所示：當(dāng)AN∥CM時(shí)，∠AMC=∠NAM=20°，
又∵AC=AM，
∴∠ACM=∠AMC=20°，
又∵∠NAC+∠ACM=180°，
∠NAM=20°，∠AMC=20°，∴∠CAM=140°，
即α=140°，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為40°或140°時(shí)，可使四邊形ACMN為梯形．

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)圖形利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．