Question

如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)于點(diǎn)F．
（1）求證：CD=FA；
（2）若∠B=∠F，連接AC、DF，所得到的四邊形AFDC是什么四邊形？
（3）若使∠F=∠BCF，平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)之間還需要添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件，并進(jìn)行證明（不要添加輔助線）

Answer 1

（1）證明：平行四邊形ABCD中，CD∥BA，
∵點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上，
∴CD∥BF，
∴∠CDE=∠FAE．
又∵E為AD的中點(diǎn)，
∴DE=AE．
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）四邊形AFDC是矩形．理由如下：
由（1）知，CD=FA．CD∥AF，則四邊形AFDC是平行四邊形．
∵∠B=∠BFC，
∴BC=FC．
又∵BC=AD，
∴FC=AD，
∴平行四邊形AFDC是矩形；

（3）要使∠F=∠BCF，需平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)之間是2倍的關(guān)系，即BC=2AB，
證明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF．
分析：（1）通過全等三角形：△CDE≌△FAE，的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（2）四邊形AFDC是矩形．由平行四邊形ABCD的對(duì)邊BC=AD、等腰△BCF的兩腰BC=CF，則四邊形AFDC的對(duì)角線CF=AD；
（3）由（1）易證得BF=2AB，可得當(dāng)BC=2AB時(shí)，即BC=BF時(shí)，∠F=∠BCF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．