Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的兩根是m，n且m＜n，如圖所示，若拋物線y=-x²+bx +c的圖像經過點A（m，0）、B（0，n）；
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 若（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，根據圖像回答，當x取何值時，拋物線的圖像在直線BC的上方？
（3） 點P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交與點E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標。

Answer 1

解：（1）∵x2-4x+3=0的兩個根為x1=1，x2=3， ∴A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（0，3）， 又∵拋物線y=-x2+bx+c的圖像經過點A（1，0）、B（0，3）兩點， ∴得 ∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；
（2）作直線BC， 由（1）得，y=-x2-2x+3， ∵ 拋物線y=-x2-2x+3與x軸的另一個交點為C 令-x2-2x+3=0 解得：x1=1，x2=-3 ∴C點的坐標為（-3，0） 由圖可知：當-3＜x＜0時，拋物線的圖像在直線BC的上方；
（3）設直線BC交PE于F，P點坐標為（a，0）， 則E點坐標為（a，-a2-2a+3） ∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分 ∴F是線段PE的中點. 即F點的坐標是（a，） ∵直線BC過點B（0，3）和C（-3，0） 易得直線BC的解析式為y=x+3 ∵點F在直線BC上，所以點F的坐標滿足直線BC的解析式 即=a+3 解得a1=-1，a2=-3（此時P點與點C重合，舍去） ∴P點的坐標是（-1，0）。