Question

【題目】定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．

如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點，AD⊥IC于點D．

（1）試探究：D、E、F三點是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論．

（2）設(shè)AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，，試作出分別以 , 為兩根且二次項系數(shù)為6的一個一元二次方程．

Answer 1

【答案】(1) D、E、F三點是同在一條直線上．(2) 6x2﹣13x+6=0．

【解析】

（1）利用切線長定理及梅氏定理即可求證；

（2）利用相似和韋達定理即可求解.

解：（1）結(jié)論：D、E、F三點是同在一條直線上．

證明：分別延長AD、BC交于點K，

由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，

再由切線長定理得：AC+CE=AF，BE=BF，

∴KE=AF．∴，

由梅涅勞斯定理的逆定理可證，D、E、F三點共線，

即D、E、F三點共線．

（2）∵AB=AC=5，BC=6，

∴A、E、I三點共線，CE=BE=3，AE=4，

連接IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點共圓．

設(shè)⊙I的半徑為r，則：，

∴，即，，

∴由△AEF∽△DEI得：

，

∴．

∴，

因此，由韋達定理可知：分別以、為兩根且二次項系數(shù)為6的一個一元二次方程是6x2﹣13x+6=0．