Question

如圖甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點(diǎn)在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

分析：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF．根據(jù)∵S_△PAB=

1

2

AB•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△CAB=

1

2

AB•CF，S_△PAC=

1

2

AC•PE，

1

2

AB•PD=

1

2

AB•CF+

1

2

AC•PE，即可求證．

解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF．理由如下：
連接AP，則S_△PAC+S_△CAB=S_△PAB，
∵S_△PAB=

1

2

AB•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△CAB=

1

2

AB•CF，
又∵AB=AC，
∴S_△PAC=

1

2

AB•PE，
∴

1

2

AB•PD=

1

2

AB•CF+

1

2

AB•PE，
即

1

2

AB（PE+CF）=

1

2

AB•PD，
∴PD=PE+CF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度適中，關(guān)鍵是先猜想出PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF再證明．