Question

如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

【小題1】求拋物線的解析式
【小題2】若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標
【小題3】P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】y=x²+2x
【小題2】D₁（1，3），D₂（﹣3，3），（﹣1，﹣1）； 
【小題3】存在，（，）或（3，15）解析:

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），可得
, 解得.
∴拋物線的解析式為y=x²+2x；
（2）①當AE為邊時，
∵A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴DE=AO=2，則D在x軸方不可能，
∴D在x軸上方且DE=2，
∴D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；
②當AO為對角線時，則DE與AO互相平分，
因為點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為﹣1，
由對稱性知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即C（﹣1，﹣1）
故符合條件的點D有三個，分別是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；
（3）存在，
∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．∴△BOC是直角三角形．

假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，
設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則，即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．
當x=時，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，則，即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）
當x=3時，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．