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        1. 如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓O1和半圓O2,其中O1和O2分別為兩個半圓的圓心.F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.
          (1)連接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,證明:△DO1F≌△FO2E;
          (2)如圖二,過點A分別作半圓O1和半圓O2的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;
          (3)如圖三,過點A作半圓O2的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連接PA.證明:PA是半圓O1的切線.

          (1)證明:如圖一,

          ∵O1,O2,F(xiàn)分別是AB,AC,BC邊的中點,
          ∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1,
          ∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC,
          ∴∠BO1F=∠CO2F
          ∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點,
          ∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,
          ∠BO1D=90°,∠CO2E=90°,
          ∴∠BO1D=∠CO2E.
          ∴∠DO1F=∠FO2E.
          ∴△DO1F≌△FO2E;

          (2)解:如圖二,延長CA至G,使AG=AQ,連接BG、AE.

          ∵點E是半圓O2圓弧的中點,
          ∴AE=CE=3
          ∵AC為直徑
          ∴∠AEC=90°,
          ∴∠ACE=∠EAC=45°,AC==,
          ∵AQ是半圓O2的切線,
          ∴CA⊥AQ,
          ∴∠CAQ=90°,
          ∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°,
          ∴AQ=AC=AG=,
          同理:∠BAP=90°,AB=AP=,
          ∴CG=,∠GAB=∠QAP,
          ∴△AQP≌△AGB.
          ∴PQ=BG,
          ∵∠ACB=90°,
          ∴BC==,
          ∴BG==,
          ∴PQ=;

          (3)如圖三,設(shè)直線FA與PQ的垂足為M,過C作CS⊥MF于S,過B作BR⊥MF于R,連接DR、AD、DM.

          ∵F是BC邊的中點,∴S△ABF=S△ACF
          ∴BR=CS,
          由(2)已證∠CAQ=90°,AC=AQ,
          ∴∠2+∠3=90°
          ∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,
          ∴∠1=∠3,
          同理:∠2=∠4,
          ∴△AMQ≌△CSA,
          ∴AM=CS,
          ∴AM=BR,
          同(2)可證AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
          ∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
          ∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上,A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上,
          且∠DBR+∠DAR=180°,
          ∴∠5=∠8,∠6=∠7,
          ∵∠DAM+∠DAR=180°,
          ∴∠DBR=∠DAM
          ∴△DBR≌△DAM,
          ∴∠5=∠9,
          ∴∠RDM=90°,
          ∴∠5+∠7=90°,
          ∴∠6+∠8=90°,
          ∴∠PAB=90°,
          ∴PA⊥AB,又AB是半圓O1直徑,
          ∴PA是半圓O1的切線.
          分析:(1)利用中位線定理可得∠BO1F=∠CO2F,進而可得∠DO1F=∠FO2E,易得O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,可得:△DO1F≌△FO2E;
          (2)易得△ACE和△ACQ,△ABD,△APD均為等腰直角三角形,那么可得AB,AC的長,利用勾股定理可得BC的長,利用頂點A及AB邊構(gòu)造和△PAQ全等的三角形AGB,利用勾股定理求得BG的長即為PQ的長;
          (3)需證∠6+∠8=90°,那么證明∠5+∠7=90°即可;利用四點共圓的性質(zhì)可得△DBR≌△DAM,進而可得∠5=∠9,即可求證.
          點評:綜合考查了圓與全等的有關(guān)知識;利用中位線定理及構(gòu)造三角形全等,利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問題是解決本題的關(guān)鍵.
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          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓O1和半圓O2,其中O1和O2分別為兩個半圓的圓心.F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.
          (1)連接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,證明:△DO1F≌△FO2E;
          (2)如圖二,過點A分別作半圓O1和半圓O2的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;
          (3)如圖三,過點A作半圓O2的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連接PA.證明:PA是半圓O1的切線.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖一,在△ABC中,分別以ABAC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

          1.連結(jié),證明:;

           

           

          2.如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

           

           

          3.如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線.

           

           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

          (1)連結(jié),證明:;

          (2)如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

          (3)如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線

           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖一,在△ABC中,分別以ABAC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.
          【小題1】連結(jié),證明:

          【小題2】如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

          【小題3】如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖一,在△ABC中,分別以AB,AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓,其中分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點,點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

          (1)連結(jié),證明:;
          (2)如圖二,過點A分別作半圓和半圓的切線,交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q,連結(jié)PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求線段PQ的長;

          (3)如圖三,過點A作半圓的切線,交CE的延長線于點Q,過點Q作直線FA的垂線,交BD的延長線于點P,連結(jié)PA. 證明:PA是半圓的切線

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