Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓O₁和半圓O₂，其中O₁和O₂分別為兩個(gè)半圓的圓心．F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)．
（1）連接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，證明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如圖二，過(guò)點(diǎn)A分別作半圓O₁和半圓O₂的切線，交BD的延長(zhǎng)線和CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）如圖三，過(guò)點(diǎn)A作半圓O₂的切線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PA．證明：PA是半圓O₁的切線．

Answer 1

（1）證明：如圖一，

∵O₁，O₂，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，
∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，
∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，
∴∠BO₁F=∠CO₂F
∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)，
∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，
∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，
∴∠BO₁D=∠CO₂E．
∴∠DO₁F=∠FO₂E．
∴△DO₁F≌△FO₂E；

（2）解：如圖二，延長(zhǎng)CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE．

∵點(diǎn)E是半圓O₂圓弧的中點(diǎn)，
∴AE=CE=3
∵AC為直徑
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，
∵AQ是半圓O₂的切線，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG=，
同理：∠BAP=90°，AB=AP=，
∴CG=，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC==，
∴BG==，
∴PQ=；

（3）如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過(guò)C作CS⊥MF于S，過(guò)B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM．

∵F是BC邊的中點(diǎn)，∴S_△ABF=S_△ACF．
∴BR=CS，
由（2）已證∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圓O₁直徑，
∴PA是半圓O₁的切線．
分析：（1）利用中位線定理可得∠BO₁F=∠CO₂F，進(jìn)而可得∠DO₁F=∠FO₂E，易得O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，可得：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均為等腰直角三角形，那么可得AB，AC的長(zhǎng)，利用勾股定理可得BC的長(zhǎng)，利用頂點(diǎn)A及AB邊構(gòu)造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的長(zhǎng)即為PQ的長(zhǎng)；
（3）需證∠6+∠8=90°，那么證明∠5+∠7=90°即可；利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可得△DBR≌△DAM，進(jìn)而可得∠5=∠9，即可求證．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查了圓與全等的有關(guān)知識(shí)；利用中位線定理及構(gòu)造三角形全等，利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．