Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為_____________．

Answer 1

【答案】120°

【解析】作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于M,交CD于N,則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值。作DA延長(zhǎng)線AH,

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A'=2(∠AA′M+∠A')=2×60°=120°。

故答案為：120°.