Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAO不大于45°，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

（3）是否存在P點(diǎn)，使∠PAC=∠BCO？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線為y=（x﹣1）2﹣；

（2）﹣4≤m≤0；

（3）存在，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣1，﹣）或（﹣3，）時(shí)，∠PAC=∠BCO．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2﹣，把點(diǎn)（4，0）代入即可解決問(wèn)題．

（2）如圖1中，求出∠PAO=45°時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可解決問(wèn)題．

（3）存在．如圖2中，∠P1AO=∠BCO，設(shè)AP1交y軸于E，理由相似三角形求出OE的長(zhǎng)，再求出直線CE與拋物線的交點(diǎn)即可解決問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱性再求出P2坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2﹣，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），

∴0=9a﹣，

∴a=，

∴拋物線為y=（x﹣1）2﹣．

（2）∵y=（x﹣1）2﹣．

令x=0，則y=﹣4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，﹣4），

令y=0，（x﹣1）2=9，解得x=﹣2或4，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣2，0），點(diǎn)A坐標(biāo)（4，0）．

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作直線AP1⊥AC，交拋物線于P1，

∵直線AC為y=x﹣4，

∴直線AP1為y=﹣x+4，

由，解得或，

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)（﹣4，8），

∴當(dāng)點(diǎn)P在P1與C之間時(shí)，∠PAO不大于45°，

∴﹣4≤m≤0．

（3）存在．

理由：如圖2中，∠P1AO=∠BCO，設(shè)AP1交y軸于E，

∵△BCO∽△EAO，

∴，

∴，

∴EO=2，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（0，2），

∴直線AE為y=﹣x+2，

由解得或，

∴p1（﹣3，）．

根據(jù)對(duì)稱性∠P2AO=∠BCO時(shí)，設(shè)AP2交y軸于F，則點(diǎn)F坐標(biāo)（0，﹣2），

∴直線AF為y=x﹣2，

由解得或，

∴點(diǎn)P2（﹣1，﹣）．

∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣1，﹣）或（﹣3，）時(shí)，∠PAC=∠BCO．