Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知直徑AD=2

3

，∠ADC=60°，∠ACB=45°，連接OB交AC于點E．
（1）求CE：AE的值；
（2）在CB的延長線上取一點P，使PB=2BC，試判斷直線PA和⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的情況下，求線段PA、PB與

AB

所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）過點O作OF⊥AC于點F．由三角形內(nèi)角和定理求得△ACB的內(nèi)角∠CAB=15°，根據(jù)圓周角定理知∠COB=2∠CAB=30°、∠AOB=2∠ACB=90°；然再連接OC，由∠ABC和∠ACB的度數(shù)求出∠AOB，∠OAC，∠OCA和∠COE的度數(shù)，利用直角三角形以及等腰三角形得到AE與EC的關(guān)系；
（2）直線PA和⊙O相切于點A．根據(jù)對應(yīng)線段的比相等判定AP與OB平行，再用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，得到∠OAP=90°，判定PA切⊙O于點A；
（3）線段PA、PB與

AB

所圍成的圖形的面積=直角梯形APBO的面積-扇形AOB的面積，所以由梯形的面積公式和扇形的面積公式求出其對應(yīng)的面積作差即可．

解答：解：（1）連接OC，過點O作OF⊥AC于點F．則AF=CF（垂徑定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°
∵∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半徑），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等邊對等角），
則在直角△AOE中，設(shè)OE=a，則AE=2a，CE=a，
∴

CE

AE

=

a

2a

=

1

2

；
（2）直線PA和⊙O相切于點A．理由如下：
由（1）知，

CE

AE

=

a

2a

=

1

2

；
∵PB=2BC，
∴

PC

PB

=

1

2

，
∴

EC

AE

=

BC

PB

=

1

2

，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O為半徑，
∴PA切⊙O于點A；
（3）過點B作BG⊥AP于G，則四邊形AOBG是正方形，
∴AO=BG=

1

2

AD=

1

2

×2

3

=

3

，OB=AG=

1

2

AD=

3

，
設(shè)BC=x，則PB=2x，由（2）可知PA是圓的切線，
∴PA²=PB•BC=2x•3x，
∴PA=

6

x，
∴PG=AP-AG=

6

x-

3

，
在Rt△BGP中，PB²=PG²+BG²，即（2x）²=（

6

x-

3

）²+（

3

）²，
解得：x=

3 2 + 6

2

＞2

3

（此解舍去）或

3 2 - 6

2

，
∴AP=

6

x=

3 2 - 6

2

×

6

=3

3

-3，
∵線段PA、PB與

AB

所圍成的圖形的面積=直角梯形APBO的面積-扇形AOB的面積，
∴線段PA、PB與

AB

所圍成的圖形的面積=

(OB+AP)•OA

2

-

nπ•(OA)2

360

=

( 3 +3 3 -3)× 3

2

-

90×π×3

360

=

12-3 3

2

-

3

4

π．

點評：本題考查的是圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半，；垂直于弦的直徑平分弦；相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的條件求出相應(yīng)的角的度數(shù)和熟練運用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．