Question

閱讀下面的材料：
如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內(nèi)有一點(diǎn)P，AP、BP的延長(zhǎng)線分別交半圓O于點(diǎn)C、D，
求證：AP·AC+BP·BD=AB²。
證明：連結(jié)AD、BC，
過(guò)P作PM⊥AB，則∠ADB=∠AMP=90°，
∴點(diǎn)D、M在以AP為直徑的圓上；
同理：M、C在以BP為直徑的圓上，
由割線定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，
所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB²，
當(dāng)點(diǎn)P在半圓周上時(shí)，也有AP·AC+BP·BD=AP²+BP²=AB²成立，
那么：（1）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P在半圓周外時(shí)，結(jié)論AP·AC+BP·BD=AB²是否成立？為什么？
（2）如圖（3）當(dāng)點(diǎn)P在切線BE外側(cè)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫(xiě)出來(lái)。

Answer 1

解：（1）成立； 證明：如圖（2），∵∠PCM=∠PDM=90°， ∴點(diǎn)C、D在以PM為直徑的圓上， ∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC， ∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC， 由已知，AM·MD+BM·BC=AB2， ∴AP·AC+BP·BD=AB2； （2）如圖（3），過(guò)P作PM⊥AB， 交AB的延長(zhǎng)線于M，連結(jié)AD、BC， 則C、M在以PB為直徑的圓上，∴AP·AC=AB·AM，① D、M在以PA為直徑的圓上，∴BP·BD=AB·BM，② 由圖象可知：AB=AM-BM，③ 由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB2。