Question

下列五個(gè)命題：①若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3與4，則第三邊長(zhǎng)是5；②若四邊形的兩對(duì)角線相等，則此四邊形一定是矩形；③若點(diǎn)P（a，b）在第三象限，則點(diǎn)Q（-a，-b+1）在第一象限；④存在銳角α，使sinα+cosα=1；⑤兩邊及其第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．其中正確的命題是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、③⑤
• D、④⑤

Answer 1

分析：①兩直角邊為3、4，則第三邊為5，②對(duì)角線相等的四邊形可能是等腰梯形；③根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)可判斷a、b的符號(hào)，④根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得sinα+cosα＞1；⑤可以證明兩三角形全等．

解答：解：①分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)兩直角邊為3，4時(shí)，斜邊為5；當(dāng)一直角邊為3，斜邊為4時(shí)，另一直角邊為

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；
②分兩種情況進(jìn)行討論：可以為矩形，還可以為等腰梯形；
③根據(jù)題意得a＜0，b＜0，則-a＞0，-b+1＞0，則點(diǎn)Q（-a，-b+1）在第一象限；
④設(shè)α為一銳角，對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，
根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα+cosα=

a

c

+

b

c

=

a+b

c

，
∵a+b＞c，∴sinα+cosα＞1；
⑤設(shè)AB=A′B′，BC=B′C′，OB=O′B′，且OB，O′B′為中線，
延長(zhǎng)BO，B′O′到P，P′，使BO=OP，B′O′=O′P′．
則四邊形ABCP和A′B′C′P′是平行四邊形，
所以AB=A′B′，AP=BC=B′C′=A′P′，BP=2OB=2O′B′=P′B′，
所以△ABP≌△A′P′B′，
所以∠ABP=∠A′B′P′，
所以∠ABC=2∠ABP=2∠A′B′P′=∠A′B′C′，
又以為AB=A′B′，BC=B′C′，
△ABC≌△A′B′C′．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題與定理以及等腰梯形的性質(zhì)，找出命題的題設(shè)和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．