Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知：CB=CD，DF=BE，∠B=∠CDA，于是證得△CEB≌△CFD，即可證出CE=CF，
（2）首先證出∠ECF=90°，故可知∠FCG=45°，于是證得△CEG≌△CFG，即可證出GE=GF=DF+GD=BE+GD，
（3）首先求出DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD，然后根據(jù)勾股定理的知識(shí)求出AD的值，進(jìn)而求出DE的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠B=∠CDA，
∵DF=BE，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF，

（2）解：成立．理由如下：
過(guò)C作CG⊥DF，
證得∠ECF=90°，
∴∠FCG=45°，
證得△CEG≌△CFG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，

（3）解：延長(zhǎng)AD到F，使得DF=DE，過(guò)C作CG⊥DF，
同理得：DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD，
又∵DE=

AE2+AD2

=

42+AD2

，
∴

42+AD2

=8-AD，
∴AD=3，
∴DE=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握直角梯形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，此題難度一般．