Question

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延長線于F點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)．
（1）求證：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

分析：（1）可過點(diǎn)C延長DC交BE于M，可得C，F(xiàn)分別為DM，DE的中點(diǎn)；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；
（3）求四邊形ABED的面積，可分解為求梯形ABMD與三角形DME的面積，然后求兩面積之和即可．

解答：（1）證明：延長DC交BE于點(diǎn)M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴CM=AB=DC，C為DM的中點(diǎn)，BE∥AC，
∴CF為△DME的中位線，
∴DF=FE；

（2）解：由（1）得CF是△DME的中位線，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中，AC=AD•sin∠ADC=

3

2

a，
∴BE=

3

a．

（3）解：可將四邊形ABED的面積分為兩部分，梯形ABMD和△DME，
在Rt△ADC中：DC=

AD2-AC2

=

a

2

，
∵CF是△DME的中位線，
∴CM=DC=

a

2

，
∵四邊形ABMC是平行四邊形，
∴AB=MC=

a

2

，BM=AC=

3

2

a，
∴梯形ABMD面積為：(

a

2

+a)×

3 a

2

×

1

2

=

3 3

8

a2；
由AC⊥DC和BE∥AC可證得△DME是直角三角形，
其面積為：

1

2

×

3 a

2

×a=

3 a2

4

，
∴四邊形ABED的面積為

3 3

8

a2+

3 a2

4

=

5 3 a2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的有關(guān)知識(shí)綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解中位線的定義，會(huì)用勾股定理求解直角三角形，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的四邊形的面積．