Question

如圖，拋物線y=

3

9

x²+ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），頂點(diǎn)為D，
（1）求該拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E（x，0）是線段OB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EP∥BD，交OD于點(diǎn)P，連接DE．△PED的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，S最大；
（3）在拋物線是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、D、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)和此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；再把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)求出OD、BD的長度，再利用勾股定理逆定理求出∠ODB=90°，然后判斷出△OPE和△ODB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式用x表示出OP、PE，再求出PD，再根據(jù)∠EPD=90°，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（3）分①BD為平行四邊形的對角線，D、Q重合，不合題意，②ED為平行四邊形的對角線，D、Q重合，不合題意，③BE為平行四邊形的對角線，作DF⊥x軸于F，作QG⊥x軸于G，可以判定△DFE和△QGB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得QG=DF=

3

，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出EF的長，然后根據(jù)x=OF+EF，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=

3

9

x²+ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），
∴

3 9 ×(-2)2-2a+c=0 3 9 ×42+4a+c=0

，
解得

a=- 2 3 9 c=- 8 3 9

，
所以拋物線的解析式為y=

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

；
∵y=

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

=

3

9

（x-1）²-

3

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，-

3

）；

（2）∵B（4，0），D（1，-

3

），
∴OB=4，OD=

12+ 3 2

=2，BD=

3 2+(4-1)2

=2

3

，
∴OD²+BD²=OB²=16，
∴∠ODB=90°，
∵EP∥BD，
∴△OPE∽△ODB，
∴

OE

OB

=

OP

OD

=

PE

BD

，
即

x

4

=

OP

2

=

PE

2 3

，
解得OP=

1

2

x，PE=

3

2

x，
∴PD=OD-OP=2-

1

2

x，
又∵EP∥BD，
∴∠EPD=180°-∠ODB=180°-90°=90°，
S=

1

2

×（2-

1

2

x）×

3

2

x=-

3

8

x²+

3

2

x，
即S=-

3

8

x²+

3

2

x，
∵S=-

3

8

x²+

3

2

x=-

3

8

（x-2）²+

3

2

，
∴當(dāng)x為2時(shí)，S最大；

（3）以點(diǎn)B、D、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形分三種情況，
①BD為平行四邊形的對角線，BE∥DQ，即DQ∥x軸，
所以，直線DQ與拋物線只有一個交點(diǎn)D，Q與D重合，不合題意；
②ED為平行四邊形的對角線，BE∥DQ，即DQ∥x軸，
所以，直線DQ與拋物線只有一個交點(diǎn)D，Q與D重合，不合題意；
③BE為平行四邊形的對角線，如圖，作DF⊥x軸于F，作QG⊥x軸于G，
∵四邊形DBQE為平行四邊形，
∴DE∥BQ，DE=QB，
∴∠BED=∠EBQ，
∴∠DEF=∠QBG，
∵在△DFE和△QGB中，

∠DEF=∠QBG ∠EFD=∠BGQ DE=QB

，
∴△DFE≌△QGB（AAS），
∴QG=DF=

3

，
當(dāng)y=

3

時(shí)，

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

=

3

，
整理得，x²-2x-17=0，
解得x₁=1+3

2

，x₂=1-3

2

（是負(fù)數(shù)，舍去），
∴點(diǎn)Q（1+3

2

，

3

），
∴EF=BG=1+3

2

-4=3

2

-3，
x=OE=OF+EF=1+（3

2

-3）=3

2

-2，
∴存在Q（1+3

2

，

3

），使以點(diǎn)B、D、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，此時(shí)x=3

2

-2．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，以及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）要分情況討論．