Question

如圖，在△ABC中，AE=EB，AF=FC，有一同學(xué)發(fā)現(xiàn)EF與BC存在以下關(guān)系：EF∥BC，且EF=

1

2

BC．
（1）請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)來說明上述關(guān)系成立的理由．
（2）如圖：在（1）的結(jié)論下，過BC、EF作直線，過A作BC的平行線．將AC向左平移到DC，得到圖②，將AC向右平移到DC，得到圖③．在圖②和圖③中猜想線段EF與線段AD、BC的關(guān)系，請(qǐng)把你猜想的結(jié)論填在圖下的方框內(nèi)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)EF到點(diǎn)D，使FD=EF，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DC，對(duì)應(yīng)角相等可得∠D=∠AEF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得CD∥AB，從而證明四邊形BCDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證；
（2）圖②中，根據(jù)（1）的結(jié)論可得EG∥BH且EG=

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BH，再根據(jù)平移可知四邊形ADCH是平行四邊形，且FG∥BC，從而得到FG=

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2

（AD+CH），最后根據(jù)EF=EG-FG整理即可得解；
圖③中，同理可得EF=EG+FG，然后整理即可得解．

解答：解：（1）理由如下：延長(zhǎng)EF到點(diǎn)D，使FD=EF，
在△AEF與△CDF中，

AF=FC ∠AFE=∠DFC EF=FD

(對(duì)頂角相等)，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=DC，∠D=∠AEF，
∴CD∥AB，
∵AE=EB，
∴DE=EB，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，且ED=BC，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BC；

（2）如圖②所示，根據(jù)（1）得，EG∥BC，且EG=

1

2

BH，
根據(jù)題意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四邊形ADCH是平行四邊形，
∵EG∥BC，
∴FG=

1

2

（AD+CH），
∴EF=EG-FG=

1

2

BH-

1

2

（AD+CH）=

1

2

（BH-CH）-

1

2

AD=

1

2

（BC-AD）；
如圖③所示，根據(jù)（1）得，EG∥BC，且EG=

1

2

BH，
根據(jù)題意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四邊形ADCH是平行四邊形，
∵EG∥BC，
∴FG=

1

2

（AD+CH），
∴EF=EG+FG=

1

2

BH+

1

2

（AD+CH）=

1

2

（BH+CH）+

1

2

AD=

1

2

（BC+AD）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線的證明，以及三角形中位線定理的拓廣，作出輔助線找出中位線EF的2倍長(zhǎng)度，構(gòu)造出平行四邊形并進(jìn)行證明四邊形BCDE是平行四邊形是解決本題的關(guān)鍵．