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        1. 如圖:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=4,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開始,繞點(diǎn)O做順時(shí)針旋轉(zhuǎn),交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE∥AB,交直線于點(diǎn)E,設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α
          (1)當(dāng)α=30°時(shí),求證:四邊形EDBC是等腰梯形,并求出AD的長.
          (2)若四邊形EDBC是直角梯形,求α的度數(shù)和AD的長.
          (3)當(dāng)α=90°時(shí),判斷四邊形EDBC是什么他特殊四邊形.
          分析:(1)過C作CF∥DE交AB于F,得出四邊形CEDF是平行四邊形,推出∠CFB=∠EDB,求出∠B=60°=∠CFB,推出BC=CF=4,求出DE=CF=4,在Rt△ACB中,求出AB=2BC=8,由勾股定理求出AC=4
          3
          ,求出DO=2,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD=DO=2;
          (2)過C作CF⊥AB于F,則∠BFC=90°,求出BF=
          1
          2
          BC=2,由勾股定理求出CF=2
          3
          ,推出四邊形CEDF是矩形,求出DE=CF=2
          3
          ,DO=OE=
          1
          2
          DE=
          3
          ,求出∠COE=∠DOA=60°,AO=2DO=2
          3
          ,即可得出答案;
          (3)四邊形EDBC是菱形,理由是:求出四邊形EDBC是平行四邊形,求出DO=OE=
          1
          2
          DE=2,在Rt△DOA中,求出AD=2DO=4,求出DB=BC=4,根據(jù)菱形的判定推出即可.
          解答:解:(1)如圖1,
          過C作CF∥DE交AB于F,
          ∵CE∥AB,
          ∴四邊形CEDF是平行四邊形,
          ∴∠CFB=∠EDB,
          ∵∠EDB=∠A+∠DOA=30°+30°=60°,
          ∴∠CFB=60°,
          ∵∠ACB=90°,∠A=30°,
          ∴∠B=60°=∠CFB,
          ∴BC=CF=4,
          ∴DE=CF=4,
          在Rt△ACB中,∠A=30°,BC=4,
          ∴AB=2BC=8,由勾股定理得:AC=4
          3
          ,
          ∴CE∥BC,O為AC中點(diǎn),
          ∴△CEO∽△ADO,CO=AO,
          EO
          OD
          =
          CO
          AO
          ,
          ∴EO=DO,
          ∴DO=2,
          ∵∠DOA=∠A=30°,
          ∴AD=DO=2;

          (2)如圖2,
          過C作CF⊥AB于F,
          則∠BFC=90°,
          ∵∠B=60°,
          ∴∠BCF=30°,
          ∵BC=4,
          ∴BF=
          1
          2
          BC=2,由勾股定理得:CF=2
          3
          ,
          ∵CF⊥AB,
          又∵四邊形CEDB是直角梯形,
          ∴ED⊥AB,
          ∴CF∥DE,
          ∵CE∥AB,
          ∴四邊形CEDF是矩形,
          ∴DE=CF=2
          3
          ,
          ∴DO=OE=
          1
          2
          DE=
          3
          ,
          ∵DE⊥AB,
          ∴∠EDB=∠EDA=90°,
          ∵∠A=30°,
          ∴∠DOA=60°,
          ∴∠COE=∠DOA=60°,
          即α的度數(shù)是60°,
          ∵在Rt△ODA中,∠ODA=90°,∠A=30°,DO=
          3
          ,
          ∴AO=2DO=2
          3
          ,
          由勾股定理得:AD=
          3
          DO=
          3
          ×
          3
          =3.

          (3)四邊形EDBC是菱形,
          理由是:如圖3,
          ∵DE⊥AC,∠ACB=90°,
          ∴DE∥BC,
          ∵CE∥BA,
          ∴四邊形EDBC是平行四邊形,
          ∴DE=BC=4,
          ∴DO=OE=
          1
          2
          DE=2,
          ∵在Rt△DOA中,∠DOA=90°,DO=2,∠A=30°,
          ∴AD=2DO=4,
          ∴DB=AB-AD=8-4=4=BC,
          ∴平行四邊形EDBC是菱形,
          即四邊形EDBC是菱形.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,勾股定理,含30度角的直角三角形性質(zhì),直角梯形性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
          (1)求證:BC是⊙O的切線;
          (2)若CD=6,AC=8,求AE.

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          如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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          (1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
          (2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
          3
          5
          ,則cos∠CBD的值是( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
          5
          cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
          (1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長為
          (t-2)
          (t-2)
          cm,(用含t的代數(shù)式表示).
          (2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
          (3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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