Question

【題目】拋物線y＝x2﹣3mx+2m+1與x軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC．

（1）拋物線的解析式為　 　（直接寫出結(jié)果）；

（2）如圖1，D為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線y＝x+n交拋物線于E，F，若EF＝5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）將△AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△A'O'C'（點(diǎn)A，C，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'，C'，O'），若旋轉(zhuǎn)后的△A'O'C'恰好有一邊的兩個端點(diǎn)落在拋物線上，請求出點(diǎn)A'的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，）；（3） 點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（6，2）或（4，2）．

【解析】

（1）點(diǎn)C（0，2m+1），OA＝OC，則點(diǎn)A（2m+1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，即可求解；

（2）聯(lián)立①與直線EF的表達(dá)式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，則a+b＝8，ab＝8﹣4n，設(shè)直線EF的傾斜角為α，則tan，則cosα＝，則b﹣a＝＝2，即可求解；

（3）分A′C′在拋物線上、O′C′在拋物線上兩種情況，分別求解即可．

解：（1）點(diǎn)C（0，2m+1），OA＝OC，則點(diǎn)A（2m+1，0)

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式并解得：m＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝（x2﹣6x+8）＝x2﹣x+2…①，

故答案為：y＝x2﹣x+2；

（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，2），

則點(diǎn)D（0，n），設(shè)點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)為：a，b，

聯(lián)立①與直線EF的表達(dá)式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，

則a+b＝8，ab＝8﹣4n，

設(shè)直線EF的傾斜角為α，則tan，則cosα＝，

則b﹣a＝＝2，

（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2）2，解得：n＝，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，）；

（3）將△AOC繞平面內(nèi)某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△A'O'C'（點(diǎn)A，C，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為A'，C'，O'），

若旋轉(zhuǎn)后的△A'O'C'恰好有一邊的兩個端點(diǎn)落在拋物線上，如圖所示，

①當(dāng)A′C′在拋物線上時（左側(cè)圖），

設(shè)點(diǎn)A′（x，y），則點(diǎn)C′（x﹣2，y﹣2），

將點(diǎn)A′、C′的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：

y＝（x2﹣6x+8），y﹣2＝ [（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8）]，

解得：x＝6，y＝2，故點(diǎn)A′（6，2）；

①當(dāng)O′C′在拋物線上時（右側(cè)圖），A與C’重合，

由圖象及旋轉(zhuǎn)可得：OC=AB=2,OA=A’B=2

∴點(diǎn)A′（4，2）；

綜上，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（6，2）或（4，2）．