Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A圓心與原點O重合，直線l分別交x軸、y軸于點B、點C，若點B的坐標(biāo)為（6，0）且tan∠ABC=

4

3

．
（1）若點P是⊙A上的動點，求P到直線BC的最小距離，并求此時點P的坐標(biāo)；
（2）若點A從原點O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著線路OB-BC-CO運動，回到點O停止運動，⊙A隨著點A的運動而移動．
①求⊙A在整個運動過程中所掃過的面積；
②在⊙A整個運動過程中，⊙A與△OBC的三邊相切有

6

種不同的情況，分別寫出不同情況下，運動時間t的取值

1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23

．

Answer 1

分析：（1）利用點B的坐標(biāo)為（6，0）且tan∠ABC=

4

3

，即可得出C點坐標(biāo)，進(jìn)而利用△OPH∽△CBO，求出P點坐標(biāo)即可；
（2）①利用⊙A在整個運動過程中所掃過的面積=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積-△LSK面積，求出即可；
②利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出t的值即可，注意利用數(shù)形結(jié)合得出．

解答：解：（1）∵點B的坐標(biāo)為（6，0）且tan∠ABC=

4

3

，
∴

AC

AB

=

4

3

，
∴

AC

6

=

4

3

，
∴AC=8，
故C點坐標(biāo)為：C（0，8），
∴BC=10，
過O作OG⊥BC于G，
則OG與⊙A的交點即為所求點P．
過P作PH⊥x軸于H，
∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，
∴

OP

BC

=

PH

OB

=

HO

OC

=

1

10

，
可得PH=

3

5

，OH=

4

5

，
∴P(

4

5

，

3

5

)；

（2）①如圖2所示：當(dāng)圓分別在O，B，C位置時，作出公切線DR，YH，F(xiàn)G，PW，切點分別為：D，R，H，G，F(xiàn)，P，W
連接CD，CF，BG，過點K作KX⊥BC于點X，PW交BC于點U，
∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，
∵KX=1，BC=

82+62

=10，
∴

CO

KX

=

BC

KU

，
∴

8

1

=

10

KU

，
解得：KU=

5

4

，
∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，
∴

CP

CO

=

PU

BO

，
∴

7

8

=

PU

6

，
解得：PU=

21

4

，
則SK=

21

4

-

5

4

-1=3，
同理可得出：△LSK∽△COB，
∴

LS

OC

=

SK

BO

，
∴

LS

8

=

3

6

，
解得：LS=4，
則∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整個運動過程中所掃過的面積
=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積-△LSK面積，
=1×8+1×6+1×10+

1

2

×6×8+π-

1

2

×3×4
=42+π；

②如圖3所示：⊙A與△OBC的三邊相切有6種不同的情況，
 當(dāng)⊙O₂與BC相切于點N，
則O₂N⊥BC，
∵∠OBC=∠O₂BN，∠O₂NB=∠COB=90°，
∴△O₂NB∽△COB，
∴

O2N

CO

=

O2B

BC

，
∴

1

8

=

O2B

10

，
解得：O₂B=

5

4

，
則OO₂=6-

5

4

=

19

4

，則t的值為：

19

4

秒，
同理可得出：O₃，O₄，O₅的位置，即可得出時間t的值，
故t=1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23．
故答案為：6； 1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．