Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；
（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），

∴，

解得．

∴拋物線表達式：y=x2+x+4；

（2）

解：△ABC是直角三角形．

令y=0，則x2+x+4，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，

在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形．

（3）

解：∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8﹣，0）或（8+，0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時N的坐標為（3，0），

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（﹣8，0）、（8﹣，0）、（3，0）、（8+，0）．

（4）

解：設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵MN∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=（n+2）×4﹣×（n+2）2

=（n﹣3）2+5，

∴當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標，然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形．
（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標；
（4）設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，根據(jù)三角形相似對應邊成比例求得MD=（n+2），然后根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可．