Question

【題目】

如圖，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），以PA長為半徑的⊙P與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作DE⊥CB于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求⊙P的半徑．

（2）連接BP交DE于點(diǎn)F，設(shè)AP的長為x，PF的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)以PE長為直徑的⊙Q與⊙P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

（1）設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，連接HP，則HP⊥BC，cosC＝，則sinC＝，sinC＝＝＝，即可求解；

（2）首先證明PD∥BE，則，即：，即可求解；

（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝4，即可求解．

（1）設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，

連接HP，則HP⊥BC，cosC＝，則sinC＝，

sinC＝＝＝，解得：R＝；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝，

設(shè)AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，過點(diǎn)B作BH⊥AC，

則BH＝ACsinC＝8，

同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝4，則：tan∠CAB＝2，

BP＝＝，

DA＝x，則BD＝4﹣x，

如下圖所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，

tanβ＝2，則cosβ＝，sinβ＝，

EB＝BDcosβ＝（4﹣x）×＝4﹣x，

∴PD∥BE，

∴，即：，

整理得：y＝；

（3）以EP為直徑作圓Q如下圖所示，

兩個(gè)圓交于點(diǎn)G，則PG＝PQ，即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D，

GD為相交所得的公共弦，

∵點(diǎn)Q是弧GD的中點(diǎn)，

∴DG⊥EP，

∵AG是圓P的直徑，

∴∠GDA＝90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四邊形PDBE為平行四邊形，

∴AG＝EP＝BD，

∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝4，

設(shè)圓的半徑為r，在△ADG中，

AD＝2rcosβ＝，DG＝，AG＝2r，

+2r＝4，解得：2r＝，

則：DG＝＝50﹣10，

相交所得的公共弦的長為50﹣10．