Question

【題目】【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于點D，E為AD上一點，且DE=BD，可知AB=CE．

【類比探究】如圖②，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交BD于點F．判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【推廣應用】在圖②中，若AB=4，BF=，則△AGE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】【閱讀發(fā)現(xiàn)】理由見解析；【類比探究】AF=BE，理由見解析；【推廣應用】．

【解析】試題分析：【閱讀發(fā)現(xiàn)】證明△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD，由SAS證明△ABD≌△CED，即可得出AB=CE；

【類比探究】由AAS證明△ABF≌△BCE，即可得出AF=BE；

【推廣應用】由勾股定理求出BD= =4，得出OA=OB=OC=BD=2，求出OF=OB﹣BF=，由勾股定理得出AF= =，由ASA證明△OBE≌△OAF，得出OE=OE=，求出AE=OA+OE=3，證明△AOF∽△AGE，得出對應邊成比例求出GE= ，AG= ，即可得出△AGE的面積．

試題解析：【閱讀發(fā)現(xiàn)】∵AD⊥BC，∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=CD，

在△ABD和△CED中， ，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴AB=CE；

【類比探究】AF=BE；理由如下：

∵正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠BAD=90°，∠ABF=∠BCE=45°，AC⊥BD，OA=OB=OC，

∵AG⊥BE，

∴∠FAD+∠AFO=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FAO+∠AEG=90°，

∴∠AFO=∠AEG，

∵∠AFB=∠FAO+90°，

∴∠AFB=∠BEC，

在△ABF和△BCE中， ，

∴△ABF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE；

【推廣應用】∵AB=AD=4，∠BAD=90°，

∴BD= =4，

∴OA=OB=OC= BD=2，

∵BF=，

∴OF=OB﹣BF=，

∴AF= = ，

由角的互余性質(zhì)得：∠OAF=∠OBE，

在△OBE和△OAF中， ，

∴△OBE≌△OAF（ASA），

∴OE=OE=，

∴AE=OA+OE=3，

∵∠OAF=∠GAE，∠AOF=∠AGE=90°，

∴△AOF∽△AGE，

∴ ，即 ，

解得：GE= ，AG= ，

∴△AGE的面積=AGGE=××=；

故答案為： ．