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        1. 如圖,∠ABM為直角,點C為線段BA的中點,點D是射線BM上的一個動點(不與點B重合)精英家教網(wǎng),連接AD,作BE⊥AD,垂足為E,連接CE,過點E作EF⊥CE,交BD于F.
          (1)求證:BF=FD;
          (2)∠A在什么范圍內變化時,四邊形ACFE是梯形,并說明理由;
          (3)∠A在什么范圍內變化時,線段DE上存在點G,滿足條件DG=
          14
          DA,并說明理由.
          分析:(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CE=BC.從而得到∠CBE=∠CEB,再根據(jù)等角的余角相等證明∠FBE=∠FEB,得到BF=EF.根據(jù)等角的余角相等以及等角對等邊再進一步證明EF=DF,最后得到BF=DF;
          (2)根據(jù)中位線定理得到AE∥CF.要保證是梯形,必須是另一組對邊不平行.首先探索另一組對邊平行時∠A的度數(shù),從而得到是梯形時的取值范圍;
          (3)從若要滿足的結論出發(fā),結合上述結論進行分析,先探求∠D的取值范圍,再進一步得到∠A的取值范圍.
          解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:在Rt△AEB中,
          ∵AC=BC,
          ∴CE=
          1
          2
          AB,
          ∴CB=CE,
          ∴∠CEB=∠CBE.
          ∵∠CEF=∠CBF=90°,
          ∴∠BEF=∠EBF,
          ∴EF=BF.
          ∵∠BEF+∠FED=90°,∠EBD+∠EDB=90°,
          ∴∠FED=∠EDF.
          ∴BF=FD;

          (2)解:由(1)BF=FD,而BC=CA,
          ∴CF∥AD,即AE∥CF.
          若AC∥EF,則AC=EF,
          ∴BC=BF.∴BA=BD,∠A=45°.
          ∴0°<∠A<90°且∠A≠45°時,四邊形ACFE為梯形;

          (3)解:作GH⊥BD,垂足為H,則GH∥AB.
          ∵DG=
          1
          4
          DA,
          ∴DH=
          1
          4
          DB.
          又F為BD中點,
          ∴H為DF的中點.
          ∴GH為DF的中垂線.
          ∴∠GDF=∠GFD.
          ∵點G在ED上,
          ∴∠EFD≥∠GFD.
          ∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°,
          ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度.
          ∴3∠EDF≤180度.
          ∴∠EDF≤60度.
          又∠A+∠EDF=90°,
          ∴30°≤∠A<90°.
          ∴當30°≤∠A<90°時,
          DE上存在點G,滿足條件DG=
          1
          4
          DA.
          點評:對學生三角形、四邊形等有關知識的考查,主要體現(xiàn)在三角形全等的判定,直角三角形的中線性質,三角形的中位線性質、梯形的定義等知識.第小題(3)的解決需具備扎實的基礎知識和一定的探究能力,本題具有一定的區(qū)分度.
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          (2)點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形?如不能,請說明理由;如能,求出此時∠A的度數(shù).

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