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        1. (2008•仙桃)小華將一張矩形紙片(如圖1)沿對角線CA剪開,得到兩張三角形紙片(如圖2),其中∠ACB=α,然后將這兩張三角形紙片按如圖3所示的位置擺放,△EFD紙片的直角頂點D落在△ACB紙片的斜邊AC上,直角邊DF落在AC所在的直線上.
          (1)若ED與BC相交于點G,取AG的中點M,連接MB、MD,當△EFD紙片沿CA方向平移時(如圖3),請你觀察、測量MB、MD的長度,猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想;
          (2)在(1)的條件下,求出∠BMD的大小(用含α的式子表示),并說明當α=45°時,△BMD是什么三角形;
          (3)在圖3的基礎(chǔ)上,將△EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角度小于90°),此時△CGD變成△CHD,同樣取AH的中點M,連接MB、MD(如圖4),請繼續(xù)探究MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小,直接寫出你的猜想,不需要證明,并說明α為何值時,△BMD為等邊三角形.

          【答案】分析:(1)易得MB和DM分別是直角三角形ABG和直角三角形ADG斜邊上的中線,都等于AG的一半,那么BM=DM.
          (2)把∠BMD進行合理分割,應(yīng)用外角等于內(nèi)角和,得到∠BMD與∠BAD之間的關(guān)系,進而得到與∠ACB即∠α之間的關(guān)系,當∠α=45°時,∠BMD=90°,那么△BMD為等腰直角三角形.
          (3)通過類比思想可猜想MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小結(jié)論依然成立.那么只有當∠α=60°時,△BMD為等邊三角形.
          解答:解:(1)MB=MD,
          證明:∵AG的中點為M∴在Rt△ABG中,MB=AG
          在Rt△ADG中,MD=AG
          ∴MB=MD.

          (2)∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,
          同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM,
          ∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC,
          而∠BAC=90°-α,
          ∴∠BMD=180°-2α,
          ∴當α=45°時,∠BMD=90°,此時△BMD為等腰直角三角形.

          (3)當△CGD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,仍然存在MB=MD,
          ∠BMD=180°-2α,
          故當α=60°時,△BMD為等邊三角形.
          解法:延長DM至N,使MN=DM,連AN、BN、BD,則有AN=DH,∠NAM=∠DHM

          ∵∠1=∠AHD+∠2
          ∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB,
          ∴∠NAB=∠DCB,
          ∵∠CDH=∠ABC=90°,∠DCH=∠BCA,
          ∴△CDH∽△CBA,
          ∴DH:AB=CD:BC,
          ∴AN:AB=CD:BC,
          ∴△NAB∽△DCB,
          ∴∠NBA=∠DBC
          ∴∠NBD=90°,
          ∴BM=MD,
          由△NAB∽△DCB得NB:AB=BD:BC
          ∴△NBD∽△ABC,
          ∴∠BNM=∠BAC,
          ∵∠BMD=2∠BNM
          ∴∠BMD=2(90°-α)=180°-2α.
          點評:此題是一道集剪接、平移、旋轉(zhuǎn)為一體的直線形操作探究題,學(xué)生可以用自己身邊的直觀模型(將一矩形紙片剪開,得到兩個全等的直角三角形紙片),按照第(1)問中的操作要求實際進行操作演示,在操作、觀察、度量的基礎(chǔ)上再進行論證,較好地體現(xiàn)了從感性認識到理性認識的思維過程.第(2)問運用直線形的有關(guān)知識不難得出結(jié)論.第(3)問必須在第(1)、(2)問的基礎(chǔ)上再進行觀察、猜想、歸納、總結(jié)出一般規(guī)律.此題既考查了直線形的有關(guān)知識,又考查了學(xué)生操作、觀察、驗證、推理的能力,不愧是一道獨具匠心的試題.它給我們的啟示是:在平時教學(xué)中要多給學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動的機會,積極引導(dǎo)學(xué)生參與實踐操作活動,培養(yǎng)他們的積極動手、樂于探究的意識.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)若ED與BC相交于點G,取AG的中點M,連接MB、MD,當△EFD紙片沿CA方向平移時(如圖3),請你觀察、測量MB、MD的長度,猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想;
          (2)在(1)的條件下,求出∠BMD的大。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆⒄f明當α=45°時,△BMD是什么三角形;
          (3)在圖3的基礎(chǔ)上,將△EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角度小于90°),此時△CGD變成△CHD,同樣取AH的中點M,連接MB、MD(如圖4),請繼續(xù)探究MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小,直接寫出你的猜想,不需要證明,并說明α為何值時,△BMD為等邊三角形.

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          (1)若ED與BC相交于點G,取AG的中點M,連接MB、MD,當△EFD紙片沿CA方向平移時(如圖3),請你觀察、測量MB、MD的長度,猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想;
          (2)在(1)的條件下,求出∠BMD的大小(用含α的式子表示),并說明當α=45°時,△BMD是什么三角形;
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          (1)若ED與BC相交于點G,取AG的中點M,連接MB、MD,當△EFD紙片沿CA方向平移時(如圖3),請你觀察、測量MB、MD的長度,猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想;
          (2)在(1)的條件下,求出∠BMD的大。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆⒄f明當α=45°時,△BMD是什么三角形;
          (3)在圖3的基礎(chǔ)上,將△EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角度小于90°),此時△CGD變成△CHD,同樣取AH的中點M,連接MB、MD(如圖4),請繼續(xù)探究MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小,直接寫出你的猜想,不需要證明,并說明α為何值時,△BMD為等邊三角形.

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