如圖,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2,BC=3,點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)(P異于A、D),Q是BC邊上的任意一點(diǎn). 連AQ、DQ,過P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求證:△APE∽△ADQ;
(2)設(shè)AP的長(zhǎng)為x,試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)P在何處時(shí),S△PEF取得最大值?最大值為多少?
(3)當(dāng)Q在何處時(shí),△ADQ的周長(zhǎng)最?(須給出確定Q在何處的過程或方法,不必給出證明)
(1)證∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD.
(2)注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ,及S△PEF=,
得S△PEF==
.
∴當(dāng)
,即P是AD的中點(diǎn)時(shí),S△PEF取得最大值
.
(3)作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連DA′交BC于Q,則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn),此時(shí)Q是BC的中點(diǎn).
【解析】(1)證得∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD,即可得到△APE∽△ADQ;
(2)先由△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ,及S△PEF=,
得S△PEF==
,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)果;
(3)作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連DA′交BC于Q,則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn),此時(shí)Q是BC的中點(diǎn).
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