Question

（2013•晉江市質檢）如圖，拋物線y=a（x-4）²+4（a≠0）經過原點O（0，0），點P是拋物線上的一個動點，OP交其對稱軸l于點M，且點M、N關于頂點Q對稱，連結PN、ON．
（1）求a的值；
（2）當點P在對稱軸l右側的拋物線上運動時，試解答如下問題：
①是否存在點P，使得ON⊥OP？若存在，試求出點P的坐標；否則請說明理由；
②試說明：△OPN的內心必在對稱軸l上．

Answer 1

分析：（1）把原點的坐標代入拋物線解析式，列出關于a的方程0=a（0-4）²+4，通過解方程0=a（0-4）²+4來求a的值；
（2）①根據(jù)題意，可點P(x0， -

1

4

x

2 0

+2x0)，則易求得AN=OD=4，OB= 

1

4

x

2 0

-2x0，BP=x₀，OA=x₀．
如圖1所示，作NA⊥y軸于點A，PB⊥y軸于點B，構建相似三角形：△ANO∽△BOP．由該相似三角形的對應邊成比例求得x0=4+4

2

，即點P的坐標(4+4

2

， -4)；
②欲證明△OPN的內心必在對稱軸l上，只需證明直線l平分∠ONP即可．

解答：解：（1）把點O（0，0）代入y=a（x-4）²+4，得：0=a（0-4）²+4，解得：a=-

1

4

．

（2）由（1）得：a=-

1

4

，
∴拋物線的解析式是y=-

1

4

(x-4)2+4，即y=-

1

4

x2+2x．
∵點P是拋物線上的點，
∴設點P(x0， -

1

4

x

2 0

+2x0)
則直線OP的解析式為：y=

- 1 4 x 2 0 +2x0

x0

x=(-

1

4

x0+2)x．
∴M（4，-x₀+8），
由y=-

1

4

(x-4)2+4可得頂點Q（4，4），又點M、N關于頂點Q對稱
∴N（4，x₀）
∴AN=OD=4，OB= 

1

4

x

2 0

-2x0，BP=x₀，OA=x₀
若ON⊥OP，則∠NOP=90°，顯然點P在第四象限，
如圖1所示，作NA⊥y軸于點A，PB⊥y軸于點B．
∴∠OPB+∠POB=90°，∠OPB=∠AON（同角的余角相等）．
∴△ANO∽△BOP．
∴

OB

AN

=

BP

OA

，即

1 4 x 2 0 -2x0

4

=

x0

x0

，即

x

2 0

-8x0-16=0，
解得：x0=4±4

2

，
又x₀＞4
∴x0=4+4

2

∴點P(4+4

2

， -4)
故當點P在對稱軸l右側的拋物線上運動時，存在點P的坐標(4+4

2

， -4)，使得ON⊥OP．

②如備用圖，作PH⊥l于點H．
由點P(x0， -

1

4

x

2 0

+2x0)、N（4，x₀），可得：PH=x₀-4，NH=x0-(-

1

4

x

2 0

+2x0)=

1

4

x

2 0

-x0，
在Rt△PHN中，tan∠PNH=

PH

NH

=

x0-4

1 4 x 2 0 -x0

=

4

x0

，
在Rt△ODN中，tan∠OND=

OD

DN

=

4

x0

，
∴tan∠PNH=tan∠OND
∴∠PNH=∠OND，即直線l平分∠ONP，
∴△OPN的內心必在對稱軸l上．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質以及三角形內心的定義．在解答（1）①時，也可以由△ODM∽△PBO求得DM=x₀-8，即M（4，-x₀+8）．