Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（2，2），B（n，4）兩點(diǎn)，連接OA、OB．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)P，使以P、A、O、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）的面積為；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-6），（1，-2）（3，6）．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k2和n的值，可得反比例函數(shù)解析式，再利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別向軸作垂線，垂足為點(diǎn)、，令x=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)即可得答案；

（3）分OA、OB、AB為對(duì)角線三種情況，根據(jù)A、B坐標(biāo)可得直線OA、OB的解析式，根據(jù)互相平行的兩條直線斜率相同可知直線OP、AP、BP的斜率，利用待定系數(shù)法可求出其解析式，進(jìn)而聯(lián)立解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案．

（1）∵點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，

∴，，

∴，，

∴，，

∵點(diǎn)，在一次函數(shù)上，

∴，，

∴，，

∴，

∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為．

（2）如圖，設(shè)一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別向軸作垂線，垂足為點(diǎn)、，

∵當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，，

∴，，

∴，

即的面積為．

（3）∵點(diǎn)A（2，2），B（-1，-4），

∴直線OA的解析式為y=x，直線OB的解析式為y=4x，直線AB的解析式為y=2x-2，

①如圖，當(dāng)OA//PB，OP//AB時(shí)，

∴直線OP的解析式為y=2x+b1，

設(shè)直線PB的解析式為y=x+b1，

∵點(diǎn)B（-1，-4）在直線上，

∴-4=-1+b1，

解得：b1=-3，

∴直線PB的解析式為y=x-3，

聯(lián)立直線OP、BP解析式得：，

解得：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，-6），

②如圖，當(dāng)OB//AP，OA//BP時(shí)，同①可得BP解析式為y=x-3，

設(shè)AP的解析式為y=4x+b2，

∵點(diǎn)A（2，2）在直線AP上，

∴2=2×4+b2，

解得：b2=-6，

∴直線AP的解析式為y=4x-6，

聯(lián)立PB和AP解析式得：，

解得：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-2），

③如圖，當(dāng)OP//AB，OB//AP時(shí)，

同①②可得：直線OP的解析式為y=2x，直線AP的解析式為y=4x-6，

聯(lián)立直線OP和AP解析式得：，

解得：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，6），

綜上所述：存在點(diǎn)P，使以P、A、O、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-6），（1，-2）（3，6）．