Question

如圖①所示，直線L：y=mx+5m與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)OA=OB時，試確定直線L解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點(diǎn)，連接OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的長；

（3）當(dāng)M取不同的值時，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動，分別以O(shè)B、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動時，試猜想PB的長是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請求其取值范圍．

Answer 1

分析：（1）是求直線解析式的運(yùn)用，會把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度；
（2）由OA=OB得到啟發(fā)，證明∴△AMO≌△ONB，用對應(yīng)線段相等求長度；
（3）通過兩次全等，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求PB的長．

解答：解：（1）∵直線L：y=mx+5m，
∴A（-5，0），B（0，5m），
由OA=OB得5m=5，m=1，
∴直線解析式為：y=x+5．

（2）在△AMO和△OBN中

OA=OB ∠OAM=∠BON ∠AMO=∠BNO

，
∴△AMO≌△ONB．
∴AM=ON=4，
∴BN=OM=3．

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)．
先證△ABO≌△BEK，
∴OA=BK，EK=OB．
再證△PBF≌△PKE，
∴PK=PB．
∴PB=

1

2

BK=

1

2

OA=

5

2

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了直角坐標(biāo)系里的全等關(guān)系，充分運(yùn)用坐標(biāo)系里的垂直關(guān)系證明全等，本題也涉及一次函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用問題．