Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+8ax(a>0)與x軸交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，對稱軸與x軸交于H，與過O，A，M三點(diǎn)的⊙Q交于點(diǎn)B，⊙Q的半徑為5，點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿著圓周順時(shí)針向點(diǎn)M運(yùn)動，射線MC與x軸交于D，與拋物線交于E，過點(diǎn)E作ME的垂線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)C的運(yùn)動路徑長為 時(shí)，求證：HD=2HA.

(3)在點(diǎn)C運(yùn)動過程中．是否存在這樣的位置，使得以點(diǎn)M，E，F為頂點(diǎn)的三角形與△AHQ相似?若存在，求出此位置時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y=x2+4x；(2)證明見解析；(3)存在，E(， )或E(， )

【解析】

(1)利用函數(shù)解析式，由y=0可求出拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂徑定理求出AH的長，再在Rt△AHQ中，利用勾股定理求出HQ的長，由半徑為5，可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)的函數(shù)解析式，建立關(guān)于a的方程，解方程求出a的值.

(2)利用弧長公式求出n的值，根據(jù)圓周角定理求出∠BMC的度數(shù)，在Rt△HMD中，利用勾股定理求出HD的長，再根據(jù)MH=2AH，可證得結(jié)論.

(3)分情況討論：①當(dāng)∠EMF=∠HQA時(shí),△MEF∽△QHA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出HD的長，可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線MD的函數(shù)解析式，然后求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)∠EMF=∠QAH時(shí),△MEF∽△AHQ，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出HD的長，可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線MD的函數(shù)解析式，然后求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo).

解：(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0，

∴A(-8，0)

由垂徑定理,得AH=AO=4,

在Rt△AHQ中, HQ=，

∴HM=HQ+QM=3+5=8，

∴M(-4，-8)

把M(-4,-8)代入拋物線得，

解得a=，

∴拋物線的解析式為y=x2+4x

(2)∵點(diǎn)C的路徑為,

∴，解得n=120°，

∴∠BMC==60°,

在Rt△HMD中, HD==MH

∵M(jìn)H=8,AH=4,即MH=2HA

∴HD=2HA

(3)存在，E點(diǎn)坐標(biāo)為(， )或(， )，理由如下：

已知∠FEM=∠AHQ=90°，

①當(dāng)∠EMF=∠HQA時(shí),△MEF∽△QHA,

此時(shí)△MHD∽△QHA,

∴,即

解得HD=，

∴OD=

∴D(0)，

設(shè)直線MD解析式為，將M(-4，-8)，D(0)代入得，

，解得，

∴直線MD的解析式為y=x-5,

將直線MD與拋物線聯(lián)立得，

，解得或

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

②當(dāng)∠EMF=∠QAH時(shí)，△MEF∽△AHQ,

此時(shí)△MHD∽△AHQ,

∴，即

解得HD=6，

∴OD=6-4=2

∴D(2,0),

設(shè)直線MD解析式為，將M(-4，-8)，D(2，0)代入得，

，解得，

∴直線MD的解析式為

將直線MD與拋物線聯(lián)立得，

，解得或

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；

綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為(， )或(， ).