Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過(guò)A（-8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，直線x=-4交x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=-4上，若以A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若B，D，C三點(diǎn)到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問(wèn)是否存在直線l，使d₁=d₂=？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出d₃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類(lèi)討論：
①以AO為一邊的平行四邊形，有2個(gè)；
②以AO為對(duì)角線的平行四邊形，有1個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)．
（3）存在4條符合條件的直線，分別如答圖2、答圖3所示．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過(guò)A（-8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：
∴； 

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=-4上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，n）．

如圖1，∵點(diǎn)A（-8，0），
∴AO=8．
①當(dāng)AO為一邊時(shí)，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=-12，m₂=4．
∴P₁（-12，14），P₂（4，6）（5分）
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)，故CE=CP．
∴，
解得：，
∴P₃ （-4，-6）．
∴當(dāng)P₁（-12，14），P₂（4，6），P₃ （-4，-6）時(shí)，A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）存在．
如圖2所示，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H．

由題意得C（-4，0），B（2，0），D（-4，-6），
∴OC=4，OB=2，CD=6，∴△CDB為等腰直角三角形．
∴CH=CD•sin45°=6×=．
∵BD=2CH，∴BD=．
①∵CO：OB=2：1，∴過(guò)點(diǎn)O且平行于BD的直線l₁滿足條件．
作BE⊥直線l₁于點(diǎn)E，DF⊥直線l₁于點(diǎn)F，設(shè)CH交直線l₁于點(diǎn)G．
∴BE=DF，即：d₁=d₂．
則，，即，∴d₃=2d₁，∴d₁=d₂=．
∴CG=CH，即d₃=×=；
②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長(zhǎng)CH交l₂于點(diǎn)G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=；
③如圖3，過(guò)H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點(diǎn)E，DF⊥l₃于點(diǎn)F，CG⊥l₃于點(diǎn)G．

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴d₁=d₂=．
作HI⊥x軸于點(diǎn)I，
∴HI=CI=CB=3，∴OI=4-3=1，
∴OH===．
∵△OCH的面積=×4×3=×d₃，∴d₃=；
④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性，可作出直線l₄，易證：
d₁=d₂=，d₃=．
綜上所述，存在直線l，使d₁=d₂=．d₃的值為：，，．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形、相似三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．第（2）問(wèn)考查平行四邊形的判定及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，第（3）問(wèn)是存在型問(wèn)題，存在4條符合條件的直線，需要分類(lèi)討論，避免漏解．