Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的象經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)
所以，可建立方程組：
解得：
所以，所求二次函數(shù)的解析式為
所以，頂點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)C（0，3）。
（2）直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，
所以
即k=1，d=3
直線解析式為y=x+3
令y=0，得x=-3，故D（-3，0）
∴ CD=AN=，AD=2，CN=2
∴CD=AN ，AD=CN
∴ 四邊形CDAN是平行四邊形。
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，故可設(shè)P（1，），
則PA是圓的半徑且
過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q，
則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切。
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，
故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，）得PE=，PM=|4-|，PQ=
由得方程：，解得，符合題意，
所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，）或（1，）。