Question

如圖所示，已知AB是半圓O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F，且C為

BF

的中點(diǎn)．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）若∠D=30°，求證：∠CAE=∠BCD．

Answer 1

分析：（1）連接BF，OC，根據(jù)C是弧BF的中點(diǎn)可以得到OC⊥BF，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到BF⊥AE，則BF∥CE，因而可以證得OC⊥DE，從而證得DE是半圓O的切線；
（2）根據(jù)AB是半圓O的直徑，∠ACB=90°，則∠ACE+∠BCD=90°，在直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，即可得到∠EAC=∠BCD．

解答：證明：（1）連接BF，OC．
∵C為弧BF的中點(diǎn)，
∴OC⊥BF，
又∵AB是半圓O的直徑，
∴BF⊥AE，
∴BF∥CE，
∴OC⊥DE，
∴DE是半圓O的切線；

（2）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
又∵直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，以及切線的判定，判定切線的問(wèn)題常用的方法是轉(zhuǎn)化成證明垂直問(wèn)題．