Question

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課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．
（1）問題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

①延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），



∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（4分）
②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE²+BG²=EG²，
∴BE²+CF²=EF²；（3分）

（2）將△DCF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG．



∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，
∴∠4+∠ABD=180°，
∴點(diǎn)E、B、G在同一直線上．
∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°，
∵DE=DE，DF=DG，
∴△DEG≌△DEF，
∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．（4分）