Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，F為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（ ）

A.2B.4C.D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是經(jīng)過CD中點(diǎn)并且平行于EC的一條線段，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可．

解：如圖：

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P在P1處，CP1=DP1，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2= CE
當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時，有DP=FP
由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P= CF
∴點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2，
∴當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，
∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°
∴∠DP2P1=90°
∴∠DP1P2=45°
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值為BP1的長
在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2

∴PB的最小值是

故選：D．