Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0，4)、（－1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′．

(1)若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；

(3)若P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1，0)，當(dāng)P、N、B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4；（2）△AMA′的面積最大S△AMA′＝8，M(2，6)；（3）當(dāng)P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)時(shí)，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，N1(0，0)，N2(3，0).

【解析】

試題分析：（1）先由OA′＝OA得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再用點(diǎn)C、A、A′的坐標(biāo)即可求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AA′, 過(guò)點(diǎn)M 作MN⊥x軸，交AA′于點(diǎn)N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN, △AMA′的面積＝△AMA′的面積＋△AMN的面積＝OA′MN,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，借助拋物線(xiàn)的解析式和AA′的解析式，建立MN的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再據(jù)此建立△AMA′的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再求△AMA′面積的最大值以及此時(shí)M的坐標(biāo)；（3）在P、N、B、Q 這四個(gè)點(diǎn)中，B、Q 這兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn)，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對(duì)角線(xiàn)分別構(gòu)造符合題意的圖形，再求解.

試題解析：(1)∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4).

∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C，A，A′，設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0),可得：

. 解得：.∴拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝－x2＋3x＋4.

(2)連接AA′，設(shè)直線(xiàn)AA′的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，可得

.解得：.

∴直線(xiàn)AA'的函數(shù)解析式是y＝－x＋4.

設(shè)M(x，－x2＋3x＋4)，

S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一(一x＋4)]＝一2x2＋8x＝一2(x－2)2＋8.

∴x＝2時(shí)，△AMA′的面積最大S△AMA′＝8．

∴M(2，6).

(3)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，－x2＋3x＋4），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，

①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ且PN＝BQ，

∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.

當(dāng)一x2＋3x＋4＝4時(shí)，x1＝0，x2＝3，即P1(0,4)，P2(3，4)；

當(dāng)一x2＋3x＋4＝一4時(shí)，x3＝，x4＝，即P3(,－4)，P4(，－4)；

②當(dāng)BQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，PB∥x軸，即P1(0，4)，P2(3，4);

當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，即Pl(0，4)，P2(3，4)時(shí)，N1(0，0)，N2(3，0).

綜上所述，當(dāng)P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,－4)，P4(，－4)時(shí)，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，N1(0，0)，N2(3，0).