Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-2x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且對稱軸為直線x=-1（如圖1）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）P是y軸上一點(diǎn)，若△PBC與△BOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AD、BD（如圖2），點(diǎn)M是AD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AB交BD于點(diǎn)N，把△DMN沿MN折疊得△D′MN，設(shè)△D′MN與△ABD的重疊部分的面積為S，請?zhí)骄浚篠的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)其對稱軸為x=-1，求得a的值，代入函數(shù)關(guān)系式即可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出p點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩三角形相似得到有關(guān)的方程，解得后即可求得p點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)DM=x，作DE⊥AB，垂足為E，交MN于點(diǎn)F，求得線段DA的長，分當(dāng)0≤x≤

5

時和當(dāng)

5

＜x≤2

5

時兩種情況求得重疊部分的最大面積即可．

解答：解：（1）由題意可得：-

-2

2a

=-1
∴a=-1，
則y=-x²-2x+3
∴y=-（x+1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，4）；

（2）∵P是y軸上一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）
又∵∠COB=90°，∠PCB≠90°
∴⒈當(dāng)∠CPB=90°=∠COB   則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）此時△CPB∽△COB，
⒉當(dāng)∠CBP=90°=∠COB時，則△CBP∽△COB，
∴∠OCB=∠PBO，
∴△COB∽△BOP，
∴

CO

BO

=

BO

PO

--------------（7分）
又∵y=-x²-2x+3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，3）、點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0）
∴

3

1

=

1

PO

，
∴PO=

1

3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-

1

3

）-------------（9分）

（3）設(shè)DM=x，作DE⊥AB，垂足為E，交MN于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)D（-1，4）
∴DA=2

5

①當(dāng)0≤x≤

5

時（圖1），S=S△D/MN
由折疊可知，S△D/MN=S△DMN=

1

2

MN•DF
∵M(jìn)N∥AB，
∴△DMN∽△DAB
∴

DF

DE

=

MN

AB

=

DM

DA

即

DE

4

=

MN

4

=

x

2 5

，
∴DE=MN=

2 5

5

x
∴S=

1

2

•

2 5

5

x•

2 5

5

x=

2

5

x2------------------（10分）
∴當(dāng)x=

5

時，S_max=2；--------------------（11分）
②當(dāng)

5

＜x≤2

5

時，如圖2，則S=S_梯形MNGK
由折疊可知：∠DMN=∠D′MN，
又∵M(jìn)N∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=2

5

-x
∴D/K=x-(2

5

-x)=2x-2

5

由△D′KG∽△D′MN得，

D/K

D/M

=

KG

MN

∴KG=

4 5

5

x-4
又∵DF=MN=

2 5

5

x
∴EF=4-

2 5

5

x
∴S=

1

2

(

4 5

5

x-4+

2 5

5

x)(4-

2 5

5

x)=-

6

5

x2+

16 5

5

x-8------------（12分）
∴-

b

2a

=

4 5

3

4ac-b2

4a

=

8

3

又∵a=-

6

5

＜0，x=

4 5

3

在

5

＜x≤2

5

范圍內(nèi)
∴當(dāng)x=

4 5

3

時 Smax=

8

3

，------------------------------------（13分）
綜合上面分析可知：S的最大值是

8

3

．------------------------------（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，梯形的面積公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用這些知識解題是解決本題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是（3）小題的求法，巧妙地運(yùn)用了分類討論思想．