Question

（2013•團風縣模擬）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=

3

4

x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，-1），拋物線y=

1

2

x2+bx+c經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t（0＜t＜4）．DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；
（3）M是平面內(nèi)一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A₁O₁B₁，點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A₁的橫坐標．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標代入直線求解即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）令y=0求出點A的坐標，從而得到OA、OC的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據(jù)矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A₁O₁∥y軸時，B₁O₁∥x軸，然后分①點O₁、B₁在拋物線上時，表示出兩點的橫坐標，再根據(jù)縱坐標相同列出方程求解即可；②點A₁、B₁在拋物線上時，表示出點B₁的橫坐標，再根據(jù)兩點的縱坐標相差A₁O₁的長度列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵直線l：y=

3

4

x+m經(jīng)過點B（0，-1），
∴m=-1，
∴直線l的解析式為y=

3

4

x-1，
∵直線l：y=

3

4

x-1經(jīng)過點C（4，n），
∴n=

3

4

×4-1=2，
∵拋物線y=

1

2

x²+bx+c經(jīng)過點C（4，2）和點B（0，-1），
∴

1 2 ×42+4b+c=2 c=-1

，
解得

b=- 5 4 c=-1

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

4

x-1；

（2）令y=0，則

3

4

x-1=0，
解得x=

4

3

，
∴點A的坐標為（

4

3

，0），
∴OA=

4

3

，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

( 4 3 )2+12

=

5

3

，
∵DE∥y軸，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•

OB

AB

=

3

5

DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•

OA

AB

=

4

5

DE，
∴p=2（DF+EF）=2（

4

5

+

3

5

）DE=

14

5

DE，
∵點D的橫坐標為t（0＜t＜4），
∴D（t，

1

2

t²-

5

4

t-1），E（t，

3

4

t-1），
∴DE=（

3

4

t-1）-（

1

2

t²-

5

4

t-1）=-

1

2

t²+2t，
∴p=

14

5

×（-

1

2

t²+2t）=-

7

5

t²+

28

5

t，
∵p=-

7

5

（t-2）²+

28

5

，且-

7

5

＜0，
∴當t=2時，p有最大值

28

5

；

（3）∵△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴A₁O₁∥y軸時，B₁O₁∥x軸，設(shè)點A₁的橫坐標為x，
①如圖1，點O₁、B₁在拋物線上時，點O₁的橫坐標為x，點B₁的橫坐標為x+1，
∴

1

2

x²-

5

4

x-1=

1

2

（x+1）²-

5

4

（x+1）-1，
解得x=

3

4

，
②如圖2，點A₁、B₁在拋物線上時，點B₁的橫坐標為x+1，點A₁的縱坐標比點B₁的縱坐標大

4

3

，
∴

1

2

x²-

5

4

x-1=

1

2

（x+1）²-

5

4

（x+1）-1+

4

3

，
解得x=-

7

12

．
綜上所述，點A₁的橫坐標為

3

4

或-

7

12

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，長方形的周長公式，以及二次函數(shù)的最值問題，本題難點在于（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90°判斷出A₁O₁∥y軸時，B₁O₁∥x軸，注意要分情況討論．