Question

【題目】如圖①，△ABC的角平分線(xiàn)BD，CE相交于點(diǎn)P.

(1)如果∠A=80，求∠BPC= .

(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)MN∥BC,分別交AB和AC于點(diǎn)M和N,試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)(用含∠A的代數(shù)式表示) .

(3)將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)。

(i)當(dāng)直線(xiàn)MN與AB，AC的交點(diǎn)仍分別在線(xiàn)段AB和AC上時(shí)，如圖③，試探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由。

(ii)當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)仍在線(xiàn)段AB上,而與AC的交點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖④,試問(wèn)(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若不成立，請(qǐng)給出∠MPB，∠NPC，∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由。

Answer 1

【答案】130°；

（2）90°﹣∠A

（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由見(jiàn)解析.

（ii）不成立，有∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A．

理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到 ，再利用三角形內(nèi)角和定理得，然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算；

（2）根據(jù)平角定義得 ，然后根據(jù)（1）的求解；

（3）（ i）∠與（2）的說(shuō)理一樣；

（ⅱ）有結(jié)論 ．

本題解析：(1)

故答案為：

(2)由 = 得∠MPB+∠NPC= ∠BPC=1( + ∠A)= ∠A；故答案為：∠MPB+∠NPC=∠A.

(3)(i)∠MPB+∠NPC=∠A.

理由如下：

∵∠BPC=+12∠A，

∴∠MPB+∠NPC=∠BPC=180(+∠A)= 12∠A.

(ii)不成立,有∠MPB∠NPC=∠A.

理由如下：由題圖④可知∠MPB+∠BPC∠NPC=，

由(1)知：∠BPC=+∠A，∴∠MPB∠NPC=∠BPC=(+∠A)= ∠A.