Question

【題目】如圖，直線y=2x+m(m>0) 與x軸交于點(diǎn)A(-2，0) （， ），直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，并與直線相交于點(diǎn)，若．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求出四邊形的面積；

（3）若為軸上一點(diǎn)，且為等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；（2）；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x+m得到m=4，則y=-2x+4，再利用AB=4可得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+n可得到n=2，則y=-x+2，然后根據(jù)兩直線相交的問題，通過解方程組得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積=S△DAB-S△COB進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先利用A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC=2，然后分類討論：當(dāng)AE=AC=2時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，2畫弧交x軸于E1點(diǎn)和E2點(diǎn)，再寫出它們的坐標(biāo)；當(dāng)CE=CA時(shí)，E3點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得到它的坐標(biāo)；當(dāng)EA=EC時(shí)，E4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

解：（1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4，
∴y=-2x+4，
∵AB=4，A（-2，0），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2，
∴y=-x+2，
解方程組，得，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴四邊形AOCD的面積=S△DAB-S△COB
=×4×-×2×2=；
（3）如圖所示，

∵A（-2，0），C（0，2），
∴AC=2，
當(dāng)AE=AC=2時(shí)，E1點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-2，0），E2點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2-2，0）；
當(dāng)CE=CA時(shí)，E3點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
當(dāng)EA=EC時(shí)，E4點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．

“點(diǎn)睛”本題考查了兩條直線相交或平行的問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了分類討論思想的運(yùn)用．