Question

如圖矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，且使它的一條直角邊過A點(diǎn)，另一條直角邊交CD于E．找出圖中與PA相等的線段．并說明理由．

Answer 1

解：圖中與PA相等的線段是PE．理由如下：
由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，從而得到∠PDC=∠DPC，所以PC=DC．
又因?yàn)锳B=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，所以∠APE=90°．
從而∠APB+∠EPC=90°．
∵∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，
因?yàn)椤螧=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，
所以△PAB≌△EPC（AAS），
從而可得PE=PA．
分析：可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，證得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．
點(diǎn)評：本題把角平分線置于矩形的背景之中，與平行線組合使用，溝通了角與角之間的關(guān)系．由于角平分線、平行線都具有轉(zhuǎn)化角的作用，在兩者共存的圖形中常會出現(xiàn)等腰三角形，所以命題者常將兩者組合，設(shè)計(jì)出精彩紛呈的題目．